2021-11-06

彼女とお別れしました

みなさんこんにちは。いかがお過ごしでしょうか。
僕は最近は授業を受けて、課題をして、ツイッターをして、趣味の数学をちょっとしたら1日が終わってしまうような感じです。

さて、最近高校時代からお付き合いしていた彼女とお別れしました。
応援してくれていた方々にはしっかり説明しなきゃいけないと感じたので、こういう形で書こうと思います。

原因

向こうから別れたいと言ってきたのですが、原因は正直よくわかりませんでした。

なんで付き合っているのか分からなくなった、付き合っているがために会うことや話すことに義務感を感じるようになってしまった、と言われましたが、
どうしてそう思うようになったのかについては話してくれませんでした(本人もよくわかっていないような様子でした)。

実際、会ったり話したりしていたときは楽しかったし、僕はずっとそのような関係が続いていると思っていたので、
突然このように言われてかなりショックを受けました。

考えられることなど

というわけで、どうして彼女が別れたくなったのかはよくわからないままなのですが、そのままでいるわけにはいかないので、僕の立場から色々考えてみました。

僕の忙しい大学生活を感じて辛くなった

まず、最近の彼女との交流の経緯を説明しようと思います。

彼女は浪人生で、受験勉強に支障が出るとよくないということで、
4月からは連絡を取り合うのを数週間に1回にするようにしていました。

ですが、7月の下旬にちょうど連絡するタイミングになった時、今度は僕の方がテスト勉強で死ぬほど忙しくなってしまったので、ちょっと連絡するのを待ってほしいとお願いしました。

8月上旬にテストが終わったので、再び連絡を取った時に、「ちょっと話したりするのが辛くなったので距離を置かせてほしい」と言われました。

その当時は、浪人生だしそういう時期もあるのかな、またしばらくしたら話せるようになるだろうという程度に思い、彼女の意向を聞くようにしました。

1か月以上経ったのでもうそろそろいいのかなと思って連絡したら、このような事態になった感じです。別れたい、と言われたときも受験が終わったらまたもとに戻るのではないかと考えましたが、本人はどうやらその気はないようでした。

このような経緯を踏まえて考えると、浪人生の彼女が、僕が大学のことで忙しかったりしている様子に対してあまりいい気持ちを持っていなかったんじゃないかと思います(彼女に聞きましたが、あまりはっきり言ってくれないのであくまで予想ですが)。それで、どうして私はこんな気持ちにならなきゃいけないんだ、と思って受験期特有の思索に耽った結果、付き合う意味が分からないという境地に達したんじゃないかなと思います。

元々あった、付き合う関係に対する感覚のずれ

とはいえ、もし彼女が今までの思い出や相手との関係を大事にする思いがあったら、受験期に一時的に嫌な思いになったとしても、付き合いたくない、という気持ちにはならないんじゃないかな、とも思います。

そこで思うのは、以前から若干付き合っていることに対する感覚のずれがあったことです。具体的に書こうとしましたがちょっと恥ずかしいのでやめておきます。でも多分こういう所に齟齬があるカップルは一般的にも多いのではないかと思います。

以前のように普通に仲良く一緒に過ごせていたときは、あまり気にならなかったし、恋愛に対等な見返りを求めてはいけないとも思っていたし、上手くやっていけるだろうと思っていたのですが、このようにお互いの立場が異なってしまった状況では、それが大きな溝を生む結果につながってしまったのだと思います。

実際、最後別れる時ずっと泣いている僕の横で、彼女は無表情で特に気遣う様子もなくぼーっとしていました。ちょっと冷たいなとは思いましたが、関係性に対する認識のずれが象徴的に表れていたと思います。

まとめ

別れたいと言われたときや、別れる瞬間はかなり精神的にきつかったです。別れるしかないなと頭では分かっていても、実際に会うとやっぱずっと一緒に居たかったという思いもこみ上げてきました。

ですが、大量の課題で忙しくしていると色々考える暇もなく、そのうちにあまりもう気にならなくなりました。

心残りがないわけではないですが、数学など他に楽しいこともあるので、今はそっちで楽しめていればいいのかなとも思っています。色々と心配をしてくれたり、相談に乗ってくれた方々、ありがとうございました。

2021-08-31

スケーリング理論からケプラーの第3法則を導く

こんにちは。
何だかんだずっと課題が忙しくて、最近ようやく本格的に夏休みが始まりました。
そこで、夏学期に習ったことを定着させるため、記事にしてまとめようと思います。

まずは、力学で習ったスケーリング理論からケプラーの第3法則を導く方法を書こうと思います。
スケーリング理論の理解は結構難しくて、授業を聞くだけではよくわからなかったので、
色々自分で考えてこうだろうと思った内容も含んで書こうと思います。私は一学生であり物理学の専門家ではないため、その点はご了承ください。

議論の流れ

なんかインターネットで調べる*1と少し違う手法もあるようですが、次のような流れで導いていきます。

各物理量を「単位付きの部分(定数)」と「単位無しの部分」に分ける
単位無し版の運動方程式を導く
単位付きの定数間の条件式を導く
スケーリング定数とスケール因子の関係性を理解する
3.の条件式がケプラーの第3法則を述べていることを理解する

1. 各物理量を「単位付きの部分(定数)」と「単位無しの部分」に分ける

ある質点が次のような運動方程式に従っているとします。

$m\frac{d^2r}{dt^2}=-G\frac{Mm}{r^2}$

つまり万有引力に従っているということですね。各変数は基本的なものなので説明は省略します。

ここで、変化しうる物理量である $r$ と $t$ を次のように表します。

$r=R_0\rho\\ t=T_0\tau$

$R_0$ は $r$ と同じ単位を持つ量、 $T_0$ は $t$ と同じ単位を持つ量とします。つまり、 $\rho$ と $\tau$ は無単位となります。

2. 単位無し版の運動方程式を導く

先ほどの運動方程式から、 $\rho,\tau$ に関する関係式を導出します。

$\frac{d^2\rho}{d\tau^2}=-\frac{MGT_0^2}{R_0^3}\frac{1}{\rho^2}$

このようになりますね。

3. 単位付きの定数間の条件式を導く

さて、2.で導出した関係式は、両辺無単位であることが分かります。そのため、右辺の定数部分は無単位です。

$\frac{MGT_0^2}{R_0^3}=K$

と置くことができます( $K$ は無単位)。また、 $M,G,T_0,R_0$ は定数なので、明らかに $K$ は定数です。

4. スケーリング定数とスケール因子の関係性を理解する

3.までの説明では、ケプラーの第3法則にはまだ遠いです。なぜなら、ケプラーの第3法則は惑星間で一定となる法則ですが、3.の式では1つの質点についてしか考察していないからです。そのため、もう1つ質点を考えましょう。次のような運動方程式に従っているとします。 $M$ は共通です。

$m'\frac{d^2r'}{dt'^2}=-G\frac{Mm'}{r'^2}$

同様に、

$r'=R_1\rho'\\ t'=T_1\tau'$

とします。 $\rho',\tau'$ の関係式を考えることで、同様に無単位の定数 $K'$ を用いて

$\frac{MGT_1^2}{R_1^3}=K'$

と表すことができます。

ここで、もし $K=K'$ がいえるならば、

$\frac{R_1^3}{T_1^2}=\frac{R_0^3}{T_0^2 }$

が言えますね。これによってケプラーの第3法則が示せたことになります。

$K=K'$ はどうすれば言えるでしょうか。実は、これは $R_0,R_1,T_0,T_1$ がどのような種類の物理量かを言うことで、示すことができます。
具体的には、 $R_0,T_0$ がどんな物理量かということが、 $K$ の値を決定します。このことを見ていきましょう。

万有引力では説明が煩雑になってしまうので、簡単のため復元力で説明します。質点が次のような運動方程式に従っているとします。

$m\frac{d^2x}{dt^2}=-Kx$

同じように、 $x=R_0\rho,t=T_0\tau$ とします。すると、

$\frac{d^2\rho}{d\tau^2}=-\frac{KT_0^2}{m}\rho$

となります。この式に $R_0$ は含まれていない点は重要です。

右辺の定数部分は無単位の定数で表せますね。これを $L$ としますと、

$\frac{KT_0^2}{m}=L$

です。 $T_0(>0)$ について解いてみましょう。

$T_0=\sqrt{\frac{mL}{K}}$

となります。

ここで高校で習った「単振動の周期に関する公式」を思い出してみましょう。

$T_0=2\pi\sqrt{\frac{m}{K}}$

でしたよね。つまり、この時 $L=4{\pi}^2$ だということです。

よって、 $T_0$ が周期を表すとき、 $L=4{\pi}^2$ だといえます。

$L$ の値を変えると、 $T_0$ は周期とは別の意味を持つ量になりえます。このことは、先ほどの運動方程式を解くことにより理解することができます。

$\rho=c_1\sin(\sqrt{L}\tau)+c_2\cos(\sqrt{L}\tau)$

となることが分かります。 $T_0$ が周期を表すとき、 $L=4{\pi}^2$ であるため、 $\tau$ が1変化するごとに運動が反復することが分かります。そして、 $\tau$ が1変化するということは、 $t=T_0\tau$ でしたので、 $t$ は $T_0$ 変化するということです。この度に運動が反復するので、確かに $T_0$ は周期ですね。

もし $L=1$ ならばどうでしょう。この時、 $\tau$ は $2\pi$ 変化するごとに運動が反復しますね。 $\tau$ が $2\pi$ 変化するということは、 $t$ は $2\pi T_0$ 変化するということです。 $T_0$ は周期を $2\pi$ で割った量ということになります。意味を持たせるとするならば、位相が1ラジアン変化するのにかかる時間ですかね。

$R_0,T_0$ をスケール因子と呼び、 $K$ をスケーリング定数と呼びます。スケール因子の持つ意味によってスケーリング定数が定まるということが分かりました。また、スケーリング定数が振幅など個別の運動の特徴に影響されていない点も重要です*2。

5. 3.の条件式がケプラーの第3法則を述べていることを理解する

万有引力の時も同様です。「 $T_0$ は周期、 $R_0$ は長半径」という風に定めると、それによって $K$ が定まります。そのため、「 $T_1$ は周期、 $R_1$ は長半径」という風にも定めれば、 $K=K'$ となるわけです。ゆえに、

$\frac{MGT_0^2}{R_0^3}=\frac{MGT_1^2}{R_1^3}$

となります。 $M,G$ は共通にしていましたから、消去すればケプラーの第3法則が出てきますね。

この導出から分かること

実は、ここまでの導出から分かることがさらにあります。
ケプラーの第3法則は「同一の恒星を持つ惑星間」に適用できるのでしたが、なぜ「同一の恒星」でなければいけなかったのでしょうか。これは、 $K$ に関する式を変形すればわかります。

$\frac{MGT_0^2}{R_0^3}=K$

より、

$\frac{T_0^2}{R_0^3}=\frac{K}{MG}$

です。右辺は恒星の質量 $M$ に依存します。これが「同一の恒星」でなければならない原因です。逆に言えば、質量が同じなら同一の恒星でなくても成り立ちます。

この話は完全に授業で話されていたことですが、この式から $G$ が本当に一定なのかを知る事にも使えるそうです。
色んな場所の恒星とそれを回る惑星の観察から、 $G$ を求めることができます。これによって空間内で $G$ が変化しないかを調べることができます。

ネットで見つけた他の方法

インターネットで調べると、次のような方法もあるようでした*3。方針だけ書きます。

$r$ を $\alpha$ 倍、 $t$ を $\beta$ 倍することを考える。ポテンシャル(位置エネルギー) $U$ はその際 ${\alpha}^k$ 倍すると考える。万有引力の時、 $k=-1$ である。 $r,t$ を定数倍しても同じ運動方程式を満たすはずであることから、 $\alpha,\beta$ 間の関係式が得られ、それがケプラーの第3法則を指す。

この方法のほうがシンプルだと思います。スケール変換をしても運動方程式は変わらないということを用いています*4。

授業で扱った方法と異なり、「無単位にする」ようなことはしていません。スケーリングにもいろんな方法があるのでしょうか。
授業では「関心のある量を無単位にする」ことがスケーリングの利点として取り上げられていました。これにより、電気回路での振動と力学の振動を同一に扱ったりすることができ、理論の普遍性が増します。
その方法とは少し違ったものなのではないかという印象を受けます。

まとめ

記事を書いていて改めて運動方程式ってすごいな、と思わされました。運動方程式は個別の運動の詳細には依存せず、楕円運動ならこう、単振動ならこう、という風に定まります*5。その点がスケーリングの上でも効いてきているような気がします。

スケーリングは定数 $K$ のイメージがしづらく、なかなか捉えづらい考え方で難しいです。考えていると収拾がつかなくなってくることもよくありました。
ですがその理論の持つ普遍性などはとても魅力的ですよね。秋学期の電磁気ではスケーリングで得た考え方を用いて力学での理論と対比させながら学習できるようにしたいです。

謝辞

夏学期にわたり力学の講義をしてくださったO先生に感謝します。

*1:検索すると出てきました:https://www.smapip.is.tohoku.ac.jp/~dex-smi/2006/Tutorial200612/ExtendedAbstracts/KojiHukushima.pdf

*2: $R_0,T_0$ の値ではなく、「どんなものか」というのが大事なのである。個別の運動によって定まる値に依存しないのは、おそらく運動方程式のスケール不変性に因っている気がする。

*3:出典は先ほどの脚注と同じ

*4:先ほどの脚注にも書いたとおり、メインで紹介した方法でもスケール変換による運動方程式の不変性を用いているだろう。

*5:もちろんそれぞれの運動のパラメータは運動方程式に出てきているが、例えば単振動なら振幅には依存しなかったりする

2021-08-30

ブログ開設芸をします

こんにちは。初投稿です。
n回目のブログ開設をします。

なんというか、この何か新しいものを作る瞬間が気持ちいいんですよね。
nからn+1を生む瞬間っていうのはたくさんあるんですが、0から1を生む瞬間は希少なものに思えます。

この快楽がたまらなくて、ブログを乱立させてしまっているのですが、
特にそれらのブログ間*1でカテゴリ分けなどをするつもりもないです()
何となくで分けていきます()

さあ、三日坊主にならないように頑張ります。これからよろしくお願いします。

*1:他のブログは別名義でやっています、秘密です!